Каталог заданий. Треугольники и их элементы

 

За­да­ние 25 № 103. На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что от­рез­киAD и CE равны (см. ри­су­нок). Ока­за­лось, что от­рез­ки BD и BE тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС — рав­но­бед­рен­ный.

 

За­да­ние 25 № 340341. Вы­со­ты AA₁ и BB₁ ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. До­ка­жи­те, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.

 

За­да­ние 25 № 340854. В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом ACB про­ве­де­ны вы­со­ты AA₁ и BB₁. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки A₁CB₁ и ACB по­доб­ны.

 

За­да­ние 25 № 340880. В вы­пук­лом четырёхуголь­ни­ке ABCD углы ABD и ACD равны. До­ка­жи­те, что углы DAC иDBC также равны.

 

За­да­ние 25 № 340906. Окруж­но­сти с цен­тра­ми в точ­ках E и F пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках C и D, причём точки E и Fлежат по одну сто­ро­ну от пря­мой CD. До­ка­жи­те, что CD ⊥ EF.

 

За­да­ние 25 № 129. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC точки M, N, K — се­ре­ди­ны сто­ронАВ, ВС, СА со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник MNK — рав­но­сто­рон­ний.

 

За­да­ние 25 № 311561. На сто­ро­не  тре­уголь­ни­ка  от­ме­че­ны точки  и  так, что . До­ка­жи­те, что если , то  .

 

За­да­ние 25 № 311567. На ме­ди­а­не  тре­уголь­ни­ка  от­ме­че­на точка . До­ка­жи­те, что если , то .

 

За­да­ние 25 № 311602. До­ка­жи­те, что бис­сек­три­сы углов при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны.

 

За­да­ние 25 № 311605. Два рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ка имеют общую вер­ши­ну. До­ка­жи­те, что от­ме­чен­ные на ри­сун­ке от­рез­ки  и  равны.

 

За­да­ние 25 № 311606. Два рав­ных пря­мо­уголь­ни­ка имеют общую вер­ши­ну  (см. рис.). До­ка­жи­те, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков  и  равны.

 

За­да­ние 25 № 311663. В па­рал­ле­ло­грам­ме  про­ве­де­ны вы­со­ты  и . До­ка­жи­те, что  по­до­бен .

 

 

За­да­ние 25 № 311665. До­ка­жи­те, что у рав­ных тре­уголь­ни­ков  и  бис­сек­три­сы, про­ведённые из вер­ши­ны  и , равны.

 

За­да­ние 25 № 311669. В тре­уголь­ни­ке  угол  равен 36°,  — бис­сек­три­са. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник  — рав­но­бед­рен­ный.

 

За­да­ние 25 № 311773. В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол B равен 60°. До­ка­жи­те, что точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC и точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC лежат на одной окруж­но­сти.

 

За­да­ние 25 № 311969. Окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны AB тре­уголь­ни­ка ABC, у ко­то­ро­го ∠C = 90°, и про­дол­же­ний его сто­рон AC и BC за точки A и B со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен диа­мет­ру этой окруж­но­сти.

 

За­да­ние 25 № 315062. На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что углы АDB и BEC равны (см. ри­су­нок). Ока­за­лось, что от­рез­ки AЕ и CD тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС — рав­но­бед­рен­ный.

 

За­да­ние 25 № 315085. На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что от­рез­ки AD и CE равны (см. ри­су­нок). Ока­за­лось, что углы АDB и BEC тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС — рав­но­бед­рен­ный.

 

За­да­ние 25 № 316244. В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти O и центр впи­сан­ной окруж­но­сти I лежат на одной окруж­но­сти. До­ка­жи­те, что угол ABC равен 60°.

 

За­да­ние 25 № 316334. В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол B равен 60° . До­ка­жи­те, что точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC и центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC лежат на одной окруж­но­сти.

 

За­да­ние 25 № 333348. Из­вест­но, что около четырёхуголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность и что про­дол­же­ния сто­рон AD и BC четырёхуголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки KAB и KCD по­доб­ны.

 

За­да­ние 25 № 339384. До­ка­жи­те, что ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка делит его на два тре­уголь­ни­ка, пло­ща­ди ко­то­рых равны между собой.

 

За­да­ние 25 № 340243. В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом ACB про­ве­де­ны вы­со­ты AA₁ и BB₁. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки A₁CB₁ и ACB по­доб­ны.